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Y a t-il un matheu parmis vous ?

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Message par Alistair Lun 30 Nov 2020 - 10:11

Rien à voir avec BFG, c'est pour cela que je supprimerais le post une fois résolu.
Je viens demander un peu d'aide ici en espérant que sur toute la communauté quelqu'un puisse m'aider sur un problème de probabilité.
Mes cours sont loin et les probabilités n'étais pas un thème préféré ☺

Voici le sujet :

J'ai 160 cartes. Parmis ceux la il y en a 2 pareils.
Si j'en pioche 36 sur les 160, quelle est la probabilité de tirer l'une de ces 2 cartes ?
D'ailleurs j'aurais la même question pour 3,4,5 cartes pareils.
Si l'un de vous a la solution je serais ravi d'apprendre comment le résoudre.
Merci d'avance 😁

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Message par Uvogovine Lun 30 Nov 2020 - 19:37

Ça m'a bien fait rire ^^

Le dénombrement c'est relou

Juste une question, est ce que tu veux connaître la probabilité de tirer AU MOINS une des cartes, ou EXACTEMENT une des cartes.
La formulation "AU MOINS" intègre le cas où tu tirerais toutes les 2 cartes, et ça permet de simplifier les choses.
Mais si tu en veux qu'une SEULE, on pourra affiner le calcul

Donc en supposant que ce qui t'intéresse, c'est de calculer la proba d'en tirer AU MOINS une, on peut calculer facilement la probabilité de l'inverse :
"Quelle est la probabilité de ne tirer AUCUNE de ces 2 cartes ?"
Au 1er tirage, tu as (160-2)/160 chances de tirer une carte qui n'est pas parmi les 2 cartes identiques
Au 2nd tirage, tu as (159-2)/159 chances (car tu as déjà choisi une carte) etc ...
Et comme les évènements sont liés (c'est à dire que les tirages précédents impactent les nouveaux tirages) tu n'as plus qu'à multiplier
Pi = (160-2)/160 * (159-2)/159 * (158-2)/158 * ...

Une fois que tu as la probabilité de l'inverse (Pi), tu peux revenir à la proba de ton évènement (Pe) grâce au fait que il y aura forcément soit l'un, soit l'autre, ce qui se traduit mathématiquement par : Pi + Pe = 1 (ça arrivera à 100%)

En développant les calculs, tu fais apparaître la notion de factorielle
En notant :
N le nombre total de cartes
C le nombre de cartes identiques
T le nombre de tirages

Au nominateur, (160-2) * (159 -2) * (158 - 2) ... ça s'écrit (N-C)! / (N-C-T)!
Et au dénominateur 1/160 * 1/159 * 1/158 * ... ça s'écrit  (N-T)! / N!
Ce qui finit par donner
Pe = 1 - [(N-C)! * (N-T)!] / [ (N-C-T)! * N! ]

Voili Smile


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Message par Alistair Lun 30 Nov 2020 - 22:42

Merci Uvo pour toute ces explications, effectivement c'était au Moins une des 2 cartes.
Par contre j'ai beau remplacer les lettres par les chiffres correspondant ça me donne rien de concret.
Il n'y a pas d'erreur sur la dernière formule ?
Je crois que je suis bon à faire le calcul de base Pi= (160-2)/160 * (159-2)/159 * (158-2)/158 * ... 36 fois !

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Message par Uvogovine Mer 2 Déc 2020 - 22:45

Effectivement il manquait une parenthèse
Avec N = 160, C = 2 et T = 2
Pe = 1 - [(160-2)! * (160-2)!] / [ (160-4)! * 160! ]
soit
Pe = 1 - [ (160-2)! / (160-4)! * (160-2)! / 160! ]
Pe = 1 - [ (160-2)*(160-3) * 1 / (160*(160-1)) ]
Pe = 1 - [ 158/160 * 157/159 ]
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Message par Alistair Jeu 3 Déc 2020 - 10:18

Bon je crois que je suis trop vieux pour réapprendre ça ...
Je suppose que le ! a une incidence car de / on passe à * et inversement ...
T=2 ? Dans mon exemple c'est pas 36 qu'il faut mettre ?
Bref de toute façon ça fait une semaine que je me prends la tête sur ça du coup j'ai changé de stratégie. Je vais faire moins de carte (je part sur 60) toujours avec un tirage de 36 ce qui donne tout de même 60% de chance pour une carte de se retrouver en jeu et si il y'en a en double ou plus ça augmentera sensiblement la chance.
Merci beaucoup Uvo de m'avoir fait revivre mon aversion pour les probabilités 😂
C'est ok pour ce sujet je le cloturerais plus tard

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Message par Heavygear Mer 16 Déc 2020 - 10:45

Rooo ca me rappelle ma Math sup sur les combinatoires Twisted Evil
Uvo est plus frais que moi sur le sujet, je lui laisse la main
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